계산 이론

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 분야
4. 계산 모델
5. 응용 분야
참조

1. 개요

계산 이론은 수학과 논리학을 기반으로 발전한 학문으로, 계산 가능한 함수와 알고리즘의 개념을 정립하고, 튜링 머신과 같은 추상적인 계산 모델을 제시하여 컴퓨터 과학의 이론적 기초를 마련했다. 주요 분야로는 오토마타 이론, 형식 언어 이론, 계산 가능성 이론, 계산 복잡도 이론 등이 있으며, 오토마타 이론은 추상 기계와 계산 문제를 연구하고, 형식 언어 이론은 언어를 기술하는 수학 분야이다. 계산 가능성 이론은 문제의 해결 가능성을 다루며, 계산 복잡도 이론은 문제 해결에 필요한 시간과 공간을 분석한다. 계산 모델에는 튜링 기계, 람다 대수, 조합 논리 등이 있으며, 형식 언어와 그 문법, 계산 모델 사이에는 대응 관계가 존재한다.

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계산 이론
지도 정보
계산 이론
학문 분야	컴퓨터 과학
세부 분야	오토마타 이론 계산 가능성 이론 계산 복잡도 이론
주요 내용	계산의 수학적 모형 알고리즘 계산 가능성과 불가능성 계산 자원
연구 주제
오토마타 이론	오토마타의 정의와 속성 연구 다양한 종류의 오토마타 (예: 유한 상태 기계, 푸시다운 오토마타, 튜링 기계) 형식 언어와 형식 문법 연구
계산 가능성 이론	알고리즘으로 풀 수 있는 문제와 풀 수 없는 문제 연구 계산 가능 함수와 계산 불가능 함수 연구 튜링 기계와 같은 계산 모형 연구 결정 불가능 문제 연구
계산 복잡도 이론	알고리즘을 실행하는 데 필요한 계산 자원 (예: 시간, 공간) 연구 계산 복잡도의 분류 (예: P, NP) P-NP 문제와 같은 미해결 문제 연구 암호학과 같은 응용 분야 연구
기타 주제	양자 계산 이론 정보 이론 난수 생성 이론 병렬 계산 이론
주요 인물
핵심 인물	앨런 튜링 알론조 처치 쿠르트 괴델 미하엘 라빈
중요 개념
주요 개념	알고리즘 계산 결정 불가능성 계산 복잡도 오토마타 형식 언어 튜링 기계 람다 대수
응용 분야
응용 분야	컴퓨터 과학의 기초 이론 프로그래밍 언어 설계 컴파일러 설계 인공지능 암호학 생물정보학 인지과학
관련 분야
관련 분야	수학 수리논리학 이산수학 정보 이론 전산학

2. 역사

계산 이론은 수학과 논리학을 사용하여 컴퓨터 과학의 모든 종류의 모델을 만드는 것으로, 지난 세기에 수학에서 분리되어 독립적인 학문 분야가 되었다. FOCS(1960년 설립)와 STOC(1969년 설립)와 같은 자체 학회와 IMU 아바쿠스 메달(1981년 롤프 네반린나 상으로 설립), 괴델 상(1993년 설립), 크누스 상(1996년 설립)과 같은 자체 상을 가지게 되었다.^[1]

계산 이론의 선구자들로는 라마르크 루유, 앨런조 처치, 쿠르트 괴델, 앨런 튜링, 스티븐 클린, 로자 페터, 존 폰 노이만, 클로드 섀넌 등이 있다.^[1]

3. 주요 분야

계산 이론의 주요 분야는 다음과 같다.

오토마타 이론: 추상 기계(오토마타)와 이 기계를 사용하여 해결할 수 있는 계산 문제를 연구하는 분야이다.
계산 가능성 이론: 어떤 문제가 컴퓨터로 풀 수 있는지 여부를 다룬다. 튜링 기계의 정지 문제는 계산 가능성 이론에서 중요한 성과 중 하나이다.
계산 복잡도 이론: 컴퓨터로 문제를 해결할 때 얼마나 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구한다. 효율성은 크게 시간 복잡도와 공간 복잡도 두 가지 측면으로 나뉜다. 알고리즘의 시간과 공간 요구량을 분석하기 위해 빅 O 표기법이 사용되며, P-NP 문제는 이 분야의 중요한 미해결 문제 중 하나이다.^[1]

3. 1. 오토마타 이론

오토마타 이론은 추상 기계(오토마타)와 이 기계를 사용하여 해결할 수 있는 계산 문제를 연구하는 분야이다. 오토마타는 스스로 무언가를 한다는 의미의 그리스어(Αυτόματα)에서 유래하였다.

오토마타는 형식 언어 이론과 밀접하게 관련되어 있으며,^[5] 인식 가능한 형식 언어의 종류에 따라 분류된다. 오토마타는 형식 언어의 유한 표현이 될 수 있으며, 계산 기계의 이론적 모델 및 계산 가능성에 대한 증명에 사용된다. 촘스키 계층은 형식 언어와 오토마타 간의 관계를 체계적으로 보여주는 중요한 개념이다.

문법	언어	오토마타	생성 규칙 (제약)
Type-0	재귀적으로 열거 가능한 언어	튜링 기계	$\alpha \rightarrow \beta$ (제한 없음)
Type-1	맥락 의존 문법	선형 제한 비결정적 튜링 기계	$\alpha A \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$
Type-2	맥락 자유 문법	비결정적 푸시다운 오토마타	$A \rightarrow \gamma$
Type-3	정규 문법	유한 상태 오토마타	$A \rightarrow a$ 및 $A \rightarrow aB$

3. 1. 1. 형식 언어 이론

형식 언어는 알파벳에 대한 연산 집합으로서 언어를 기술하는 수학적 분야이다. 오토마타 이론은 형식 언어를 생성하고 인식하는 데 사용되는 오토마타와 밀접하게 관련되어 있다.^[6] 여러 종류의 공식 언어가 있으며, 촘스키 계층에 의해 집합 포함 관계가 설명된다.^[6] 오토마타는 계산 모델로 사용되므로, 공식 언어는 계산해야 하는 모든 문제에 대한 선호되는 사양 방식이다.

3. 2. 계산 가능성 이론

계산 가능성 이론은 어떤 문제가 컴퓨터로 풀 수 있는지 여부를 다룬다. 튜링 기계의 정지 문제는 계산 가능성 이론에서 중요한 성과 중 하나이다.^[7] 정지 문제는 정식화하기 쉽고, 튜링 기계로 풀 수 없는 문제의 구체적인 예이며, 수리 기초론과 관계가 있다. 또한, 정적으로 무한 루프의 검출을 확실하게 수행하는 방법이 없다는 것을 보여주는 등 실용적인 의미도 있다.

라이스의 정리는 부분 함수의 모든 비자명한 성질에 대해 튜링 기계가 그 성질을 갖는 부분 함수를 계산하는지 여부가 결정 불가능하다는 것을 명시하여 계산 이론에서 중요한 단계였다.^[8]

3. 3. 계산 복잡도 이론

계산 복잡도 이론은 컴퓨터로 문제를 해결할 때, 얼마나 효율적으로 해결할 수 있는지를 연구하는 분야이다. 여기서 효율성은 크게 두 가지 측면으로 나뉘는데, 계산에 걸리는 시간을 의미하는 시간 복잡도와 계산에 필요한 메모리 양을 의미하는 공간 복잡도가 그것이다.

어떤 알고리즘이 얼마나 많은 시간과 공간을 필요로 하는지 분석하기 위해, 컴퓨터 과학자들은 문제의 크기에 따라 시간과 공간이 어떻게 변하는지를 함수로 나타낸다. 예를 들어, 정렬되지 않은 숫자 목록에서 특정 숫자를 찾는 문제를 생각해 보자. 목록의 크기가 커질수록, 즉 숫자의 개수가 많아질수록 원하는 숫자를 찾기 위해 더 많은 숫자를 확인해야 한다. 만약 목록에 ''n''개의 숫자가 있다면, 최악의 경우 모든 숫자를 확인해야 할 수도 있다. 따라서 이 문제를 해결하는 데 필요한 시간은 문제의 크기(''n'')에 비례하여 증가한다고 할 수 있다.

이러한 복잡도를 간단하게 표현하기 위해 빅 O 표기법이 사용된다. 이 표기법을 사용하면 특정 컴퓨터의 성능과 관계없이, 문제의 크기가 커짐에 따라 알고리즘이 얼마나 많은 시간/공간을 필요로 하는지를 대략적으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 위에서 언급한 숫자 찾기 문제의 경우, O 표기법으로는

O(n)

시간이 필요하다고 말할 수 있다.

컴퓨터 과학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나는 NP라고 불리는 특정 종류의 문제들을 효율적으로 해결할 수 있는지, 즉 복잡도 종류 P와 NP가 같은지에 대한 질문이다. 이 문제는 2000년에 클레이 수학 연구소가 제시한 7가지 밀레니엄 문제 중 하나이기도 하다. 이 문제에 대한 공식적인 설명은 튜링상 수상자인 스티븐 쿠크가 작성했다.^[1]

4. 계산 모델

튜링 기계는 계산 가능성을 정의하는 표준적인 모델이며, 처치-튜링 명제는 튜링 기계와 동등한 계산 모델의 존재를 시사한다. 튜링 기계 외에도 다양한 계산 모델이 존재한다.

람다 대수: 계산을 하나의 초기 람다 식(입력을 분리하고 싶다면 두 개의 람다 식)과 유한 개의 람다 항으로 나타낸다. 각 람다 항은 이전 람다 항에 β-환원을 적용한 것이다.
조합 논리: 람다 대수와 매우 비슷하지만, 람다 대수에서는 정규 형식이 아닌 고정점 연산자 '''Y'''가 조합 논리에서는 정규적으로 통합되어 있다는 차이가 있다.
μ 재귀 함수: 여러 개의 자연수를 인수로 하여 하나의 자연수를 반환하는 함수이며, 원시 재귀 함수를 기반으로 구성되고, 거기에 μ 재귀를 적용한 것이다.
마르코프 알고리즘: 문자열에 일종의 문법 규칙을 적용하는 문자열 재작성 시스템이다.
레지스터 기계: 컴퓨터를 추상화한 것이다. 대개 무한 크기의 자연수를 저장할 수 있는 레지스터를 가지며, 명령어 수는 매우 적다. 튜링 기계와 비교하면 무한 메모리가 부족하지만, 레지스터가 무한 크기의 자연수를 저장할 수 있으므로 그것으로 대체된다.
P′′: 튜링 기계와 마찬가지로 무한 길이의 테이프에 기호를 기록하지만, 튜링 기계에서 유한 상태 오토마톤에 해당하는 것을 고정 길이로 루프의 기술이 가능한 명령어의 열로 기술한다. 이를 바탕으로 명령어 세트를 이론용에서 구현용으로 대폭 변경하여 설계된 프로그래밍 언어가 브레인퍽이다.

각 계산 모델은 고유한 특징과 장단점을 가지며, 특정 문제 해결에 더 적합할 수 있다.

튜링 기계보다 제한적인 계산 모델 (예: 유한 오토마타, 푸시다운 오토마타)은 오토마타 이론에서 다룬다. 정규 표현식, 맥락 자유 문법 등은 특정 응용 분야에서 유용한 계산 모델로 활용된다. 모델이 다르면 특기 분야도 다르다.

5. 응용 분야

계산 이론의 연구 결과는 컴파일러 설계, 데이터베이스 시스템, 인공지능, 암호학, 네트워크 프로토콜 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

참조

_[1] harvtxt
_[2] 서적 Alan Turing: The Enigma Princeton University Press
_[3] 비디오 Turing, Church, Gödel, Computability, Complexity and Randomization: A Personal View http://videolectures[...] 2012-06-00
_[4] 서적 Mathematical Logic https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[5] 서적 Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. 3rd ed Reading, MA: Addison-Wesley.
_[6] 저널 Three models for the description of language IEEE
_[7] 저널 On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem http://www.turingarc[...] IEEE 2015-01-06
_[8] 저널 Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems American Mathematical Society
_[9] 서적 The undecidable: Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (Dover Ed) Dover Publications
_[10] 일반

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